אשר רייך נולד בירושלים בספטמבר 1937 בשכונת בתי אונגרין החרדית, למד בחדר, בתלמוד תורה ובישיבה עד גיל 18. אחר כך נחלץ מהשכונה בכוחות עצמו והתגייס לשירות סדיר בצה"ל. הוטל עליו חרם מצד משפחתו למשך יותר מעשרים שנה. לאחר סיום שירותו בצה"ל למד באוניברסיטה ספרות ופילוסופיה. החל לכתוב שירה בתחילת שנות השישים וזכה אז בפרס "אנה פרנק" לשירה בעילום שם מטעם קרן אמריקה ישראל. כמו כן זכה שלוש פעמים בפרס "אקום" בעילום שם על כתבי יד.
רייך עוסק שנים רבות בהדרכה בסדנאות לכתיבה יוצרת ומרצה בבתי ספר על השירה העברית. במשך כחמש עשרה שנה היה עורך "מאזנים" לספרות (במשך כל שנות השמונים ובסוף שנות התשעים). עד היום פירסם 13 ספרי שירה, ביניהם חפיסה חדשה (עם עובד 1983), עליו זכה בפרס ברנשטיין לשירה. כמו כן זכה בפרס הנשיא לשירה (2000) ופעמיים בפרס ראש הממשלה (1981, 2001) על ספר שיריו עתיד דומם שהופיע בהוצאת "קשב" זכה בפרס ברנר (2002). באותה שנה אף פירסם באותה הוצאה שירים שתירגם מגרמנית שלח לחמך (יחד עם המשורר טוביה ריבנר) של המשורר כריסטוף מקל. ספריו ראו אור בגרמניה, ארה"ב, צרפת ואנגליה. שיריו תורגמו ל־20 שפות והוא זכה למילגה מטעם אוניברסיטת איובה (1985), האקדמיה הספרותית בברלין (1989–1990) ואוכספורד (1999). מזה שנים רבות עוסק אשר רייך בהשוואות תרגומי שירה המתפרסמים ב"תרבות וספרות" של הארץ. מיבחר מהשוואות אלה הופיע בהוצאת "עם עובד" (2000) תחת הכותרת הנשיקה מבעד למטפחת.שני ספרי פרוזה שלו פורסמו: הרומן זכרונות של חולה שיכחה (מעריב 1991) וקובץ סיפורים איש עם דלת (הקיבוץ המאוחד 2004).
בשנת 2006 יצאו לאור שני ספרים נוספים פרי עטו: ספר שירה להפך (ריתמוס - הקיבוץ המאוחד 2006) וספר תרגומים מגרמנית עבודות צל (הוצאת "קשב" 2006) ממבחר שירתו של הנס מגנוס אנצנסברגר, בליווי מבוא על השירה של המשורר הגרמני.